Теорема Безу и следствие из нее. Корни многочлена
Городская открытая научно-практическая конференция
школьников и студентов
Тема: «ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БЕЗУ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ n -Й СТЕПЕНИ, ПРИ n >2»
Выполнила:
Научный руководитель:
Введение
Этьен Безу
Теорема Безу
Доказательство теоремы 6
Следствия из теоремы:
Следствие 1
Следствие 2
Следствие 3
Следствие 4
Следствие 5
Следствие 6
Следствие 7
Применение теоремы
Заключение
Источники
Введение
Трудно решать уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю, - самый распространенный метод решения самых различных уравнений. Здесь нет общих рецептов. Многое зависит от умения, сообразительности, наблюдательности и опыта.
Но такие уравнения не всегда можно разложить на множители. Одним из методов, которые помогли мне решать уравнения высоких степеней, является теорема Безу.
Цель моей работы: изучение теоремы Безу.
Для выполнения поставленной цели предполагалось выполнить следующие задачи:
· ознакомиться с биографией Этьена Безу;
· проанализировать определение и доказательство теоремы;
· обозначить и доказать следствия из теоремы Безу;
· показать конкретные примеры применения теоремы.
Этьен Безу
Этьен Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года).
С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.
Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.
Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры, о которой будет говориться ниже.
Теорема Безу
При делении многочлена n-й степени относительно xна двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.)
Прежде чем доказывать теорему, сделаю два пояснения.
1. Мы знаем, что существуют такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых отдельных значениях входящих в него букв. Например, 1/xтеряет смысл при x=0; выражение 1/(x 2 -25) теряет смысл при x=5 и при x=-5.
Заметим, что многочлен любой целой положительной степени никогда не теряет смысла. При всяком значении переменной он принимает определенное значение.
2. Произведение двух множителей, из которых один обращается в нуль, а другой принимает определенное значение, всегда равно нулю. Если же один множитель обращается в нуль, а другой теряет смысл, то о таком произведении нельзя говорить, что оно равно нулю. О таком произведении ничего определенного сказать нельзя. В каждом отдельном случае необходимо особое исследование.
Рассмотрю произведение (1-x) *
. При x=1 первый множитель обращается в нуль, а второй теряет смысл. Нельзя утверждать, что это произведение при x=1 равно нулю. ] = Lim =1/2.Итак, при x=1 само произведение (1-x) *
смысла не имеет. Но его предел имеет смысл, а именно равен ½, а не нулю, как это ошибочно можно было предположить.Доказательство теоремы Безу
Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.
Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.
По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество
f(x) =(x-a)q(x)+R.
Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.
Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю:
f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)
Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a.
Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит.
Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)
Поэтому из равенства (1) получим:
что и требовалось доказать.
Следствия из теоремы
Следствие 1.
Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению
этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).
Доказательство:
Согласно правилу деления многочленов:
f(x)= (ax+b)*q(x)+R.
f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),
что и требовалось доказать.
Следствие 2:
Если число aявляется корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.
Доказательство:
По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию aявляется корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.
Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).
Следствие 3:
Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 ,… ,a n ,то он делится на произведение (x-a 1)…(x-a n) без остатка.
Доказательство:
Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на
(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), гдеa 1 , a 2 ,…, a k - егокорни.
Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a 1 , a 2 , a k ,…, (a k +1) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a 1)…(x-a k), откуда выходит, что
f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).
При этом (a k +1) – корень многочлена f(x), т.е.
Значит, подставляя вместо x (a k +1), получаем верное равенство:
f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.
Но (a k +1) отлично от чисел a 1 ,…, a k , и потому ни одно из чисел (a k +1 -a 1),…, (a k +1 -a k) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a k +1), т.е. (a k +1) – корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a k + 1) без остатка.
q(x)=(x-a k +1)q 1 (x), и потому
f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x)=(x-a 1)…(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).
Это и означает, что f(x) делится на (x-a 1)…(x-a k +1) без остатка.
Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.
Следствие 4:
Многочлен степени n имеет не более n различных корней.
Доказательство:
Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a 1)...(x-a n+k), имеющее степень (n+k), что невозможно.
Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.
Следствие 5:
Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).
Доказательство:
Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.
Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).
Причём по теореме Безу:
f(x)=(x-a)q(x)+f(a).
f(x)-f(a)=(x-a)q(x),
а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))
на (x-a), что и требовалось доказать.
Следствие 6:
Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.
Доказательство:
Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.
1. Необходимость.
Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.
Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.
2. Достаточность.
Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),
тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).
научная работа
Применение теоремы
Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.
Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:
· найти все целые делители свободного члена;
· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);
· левую часть уравнения разделить на (x-a);
· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;
· решить полученное уравнение.
Найти остаток от деления многочлена x 3 -3x 2 +6x-5
на двучлен x-2.
По теореме Безу:
R=f(2)=2 3 -3*2 2 +6*2-5=3.
Ответ: R=3.
При каком значении a многочлен x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 делится без остатка на двучлен x-2?
По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.
Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.
Ответ: a=-2.
При каких значениях a и b многочлен ax 3 +bx 2 -73x+102 делится на трёхчлен x 2 -5x+6 без остатка?
Разложим делитель на множители: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).
Поскольку двучлены x-2 и x-3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x-2 и на x-3, а это значит, что по теореме Безу:
R 1 =f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0
R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0
Решу систему уравнений:
8a+4b-44=0 2a+b=11
27a+9b-117=0 3a+b=13
Отсюда получаем: a=2, b=7.
Ответ: a=2, b=7.
При каких значениях a и b многочлен x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b
делится без остатка на трёхчлен x 2 -2x+1?
Представим делитель так: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2
Данный многочлен делится на x-1 без остатка, если по теореме Безу:
R 1 =f(1)=1+a-9+11+b=a+b+3=0.
Найдём частное от деления этого многочлена на x-1:
X 4 +ax 3 -9x 2 +11x-a-3 x-1
x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)
(a+1)x 3 -(a + 1)x 2
(a-8)x 2 -(a-8)x
Частное x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) делится на (x-1) без остатка, откуда
R 2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.
Решу систему уравнений:
a + b + 3 = 0 a + b =-3
3a - 3 = 0 a = 1
Из системы: a=1, b=-4
Ответ: a=1, b=-4.
Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +4x 2 -5.
Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x-1) без остатка:
f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, значит f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5).
Среди делителей свободного члена многочлена x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x 3 +x 2 +5x+5 делится на (x+1) без остатка:
X 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1
x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5
X 3 +4x 2 _5x+5
(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, значит x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5).
Отсюда f(x)=(x-1)(x+1)(x 2 +5).
По следствию 7 (x 2 +5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.
Ответ: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).
Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +324.
f(x) корней не имеет, т.к. x 4 не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.
Ответ: многочлен на множители не раскладывается.
Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.
По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x-4) 2 (x+2), значит:
f(x)/(x-4) 2 (x+2)=q(x), т.е.
f(x)=(x-4) 2 (x+2)q(x),
f(x)=(x 2 -8x+16)(x+2)q(x),
f(x)=(x 3 -8x 2 +16x+2x 2 -16x+32)q(x),
f(x)=(x 3 -6x 2 +32)q(x).
(x 3 -6x 2 +32) - кубический многочлен, но по условию f(x) - также кубический многочлен, следовательно, Q(x) - некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x 3 -6x 2 +32.
Ответ: x 3 -6x 2 +32.
Решить уравнение x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.
301; 2, 3, 5, 6, 10.
(x-2)(x 3 +5x 2 -3x-15)=0
(x-2)(x+5)(x 2 -3)=0
X 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2
x 4 -2x 3 x 3 +5x 2 -3x-15
Ответ: x 1 =2, x 2 =-5, x 3,4 =.
Решить уравнение x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0.
Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, что по следствию 4 оно имеет не более 6 корней уравнения.
12 1; 2; 3; 4; 6; 12.
X 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1
x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12
10x 3 +16x 2 _x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12 x+2
10x 3 -10x 2 x 5 +2x 4 x 4 -5x 2 +6
6x 2 +6x _ -5x 3 -10x 2
6x 2 -6x -5x 3 -10x 2
x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0
x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0
x 4 -5x 2 +6=0 - биквадратное уравнение, x 1,2 =, x 3,4 =.
Ответ: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 =1, x 6 =-2.
Решить уравнение x 3 -5x 2 +8x-6=0.
X 3 -5x 2 +8x-6 x-3
x 3 -3x 2 x 2 -2x+2
x 3 -5x 2 +8x-6=(x 2 -2x+2)(x-3)=0
x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.
Ответ: x=3.
Решить уравнение 6x 3 +11x 2 -3x-2=0.
6x 3 +11x 2 -3x-2 x+2
6x 3 +12x 2 6x 2 -x-1
6x 3 +11x 2 -3x-2=(6x 2 -x-1)(x+2)=0
6x 2 -x-1=0 - квадратное уравнение, x 1 =Ѕ, x 2 =-?.
Ответ: x 1 =Ѕ, x 2 =-?, x 3 =-2.
Биография и труды Колмогорова А.Н.
Колмогоровы теоремы: 1. Теорема о нормированных пространствах (1934); 2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928); 3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933). 2.8...
Бипримарные группы
Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в, а, где --- силовская 2-подгруппа в, --- ее инвариантное дополнение в. В силу леммы условие теоремы выполняется для...
Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2
Клеточные пространства
Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X. Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: АА, такая...
Максимальные факторизации симплектических групп
Теорема Для любого четного числа и любого поля группа проста за исключением группы, которая простой не является. Доказательство. 1) Исключительное поведение группы следует из. Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при...
Научные достижения Пифагора
Задача №1 Решение: Д АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,АВ2 = 82 + 62,АВ2 = 64 + 36,АВ2 = 100,АВ = 10. Ответ: АВ = 10 Задача №2 Решение: Д DCE - прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...
Применение производной при решении некоторых задач
Пример 1. Доказать теорему: если уравнение (1) имеет положительный корень, то уравнение (2) также имеет положительный корень и притом меньший...
Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя
Получаем где - любая нечетная непрерывная функция. Наряду с дифференциальной системой (1) рассмотрим возмущенную систему (2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по ...
Спектр графа
Ряд фундаментальных свойств спектров графов (или, в более общем случае, мультиорграфов) можно установить на основе некоторых теорем теории матриц. В этом параграфе представлены лишь наиболее важные матричные теоремы...
Теорема Силова
Пусть G - группа и P - другая группа. Пусть каждому элементу aG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение ц называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S...
Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций
Теорема 1. Производная эллиптической функции есть также функция эллиптическая. В самом деле, дифференцируя соотношение (1), имеющее место при любом z, получаем Таким образом, производная f(z) имеет те же периоды 2 и 2, что и первоначальная функция...
Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании
Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей: Теорема Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений...
Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток
Лемма1. Конгруэнции образуют открытое семейство. Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в. Пусть, тогда и для некоторого. Если - произвольный простой идеал из, то, и поэтому...
Цилиндрические функции
С помощью теоремы Коши об интегралах от функций комплексного переменного можно получить из интеграла Пуассона еще одно интегральное представление, весьма важное для теории функций Бесселя...
Экстремальная задача на индексационных классах
В случае утверждение теоремы очевидно. Пусть. Лемма 3. Для любого ФР и любой точки существует ФР такая, что v(t)(t) (v(t)(t)) в некоторой окрестности точки. Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Yi(0)...
Теорема
Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .
Следствия из теоремы Безу
- Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
- Пусть $a$ - целый корень приведенного многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $P(k)$ делится на $a-k$ .
Число $a$ - корень многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ .
Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ .
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если $P(a)=0$, то заданный многочлен $P(x)$ можно представить в виде:
$$P(x)=(x-a) Q(x)$$
Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.
Примеры решения задач
Пример
Задание. Найти остаток от деления многочлена $f(x)=3 x^{2}-4 x+6$ на двучлен $(x-1)$
Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке $a=1$ . Найдем тогда $f(1)$, для этого значение $a=1$ подставим в выражение для многочлена $f(x)$ вместо $x$ . Будем иметь:
$$f(1)=3 \cdot 1^{2}-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$
Ответ. Остаток равен 5
Пример
Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен $f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4$ делится на двучлен $x=1$ без остатка.
Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число $x=1$ - корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: $f(1)=0$ . Найдем значение многочлена в точке $x=1$ .
1. Разделить 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 на x − 1 , используя схему Горнера.
Решение:
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11, расположенные по убыванию степеней переменной x . Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x −1, то во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5 , просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅ 5 + 5 = 10 :
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅ 10 + 1 = 11 :
Для пятой ячейки получим: 1⋅ 11 + 0 = 11 :
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x
4 +5x
3 +x
2 −11 на x
−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x
4 +5x
3 +x
2 −11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x
3 +10x
2 +11x
+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена 5x
4 +5x
3 +x
2 −11 на x
−1.
В нашем случае остаток равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x
4 +5x
3 +x
2 −11 при x
=1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x
4 +5x
3 +x
2 −11 при x
=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x
4 +5x
3 +x
2 −11.
2. Найдите неполное частное, остаток от деления многочлена
А (х ) = х 3 – 2х 2 + 2х – 1 на двучлен х – 1.
Решение:
– 2 |
– 1 |
|||
α = 1 |
– 1 |
Ответ: Q (x ) = х 2 – х + 1 , R (x ) = 0.
3. Вычислите значение многочлена А (х ) при х = – 1, если А (х ) = х 3 – 2 х – 1.
Решение:
– 2 |
– 1 |
|||
α = – 1 |
– 1 |
– 1 |
Ответ:А (– 1) = 0.
4. Вычислите значение многочлена А (х ) при х = 3, неполное частное и остаток, где
А (х )= 4 х 5 – 7х 4 + 5х 3 – 2 х + 1.
Решение:
– 7 |
– 2 |
|||||
α = 3 |
178 |
535 |
Ответ: R (x ) = A (3) = 535, Q (x ) = 4 х 4 + 5х 3 + 20х 2 + 60х +178.
5. Найдите корни уравнения х 3 + 4 х 2 + х – 6 = 0.
Решение:
Находим
делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6
1, 4, 1, – 6. Строим таблицу для применения схемы Горнера:
Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на
Пусть _ корень многочлена, т.е. Разделим на, где степень меньше степени, которая равна Значит, степень равна, т.е. . Значит, . Так как, то из последнего равенства следует, что т.е. .
Обратно, пусть делит, т.е. . Тогда.
Следствие. Остаток от деления многочлена на равен.
Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.
Многочлен можно разделить на линейный многочлен с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.
Пусть и пусть, где. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:
Число называется корнем кратности многочлена, если делит, но уже не делит.
Чтобы поверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на и т.д. до получения не нулевого остатка.
Число различных корней многочлена не превосходит его степени.
Большое значение имеет следующая основная теорема.
Основная теорема . Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).
Следствие. Всякий многочлен степени имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.
где _ корни, т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:
где уже различные корни, _ кратность корня.
Если многочлен, с действительными коэффициентами имеет корень, то число также корень
Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.
Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.
Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение.
Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.
При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.
Рациональной дробью называется дробь где и _ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде, где и - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.
Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена, т.е. и, то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.
При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.
Лемма 2. Если - правильная рациональная дробь, а число (и - вещественные,) является корнем кратности многочлена, т.е. и, и если, то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.
Рациональные дроби вида, _ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.
Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.
При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:
- · Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными;
- · После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.
При этом если степень многочлена равна, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени, т.е. многочлен с коэффициентами.
Число неизвестных также равняется: .
Таким образом, получается система уравнений с неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.