Понятие симметрии. Теорема Нетер
В той или иной мере представление о симметрии есть у каждого человека. Этим свойством обладают самые разные предметы, играющие важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Возможно, наиболее симметричным продуктом деятельности человека является мяч, который выглядит всегда одинаково, как бы его не поворачивали. Симметрия широко распространена в природе – гексагональная форма снежинок, различные геометрические формы кристаллов, приближенно зеркальная симметрия человеческого тела и т.д.
Дать общее определение понятию «симметрия» довольно сложно. Очень часто симметрию связывают с красотой. «Симметричное означает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия – тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», – писал Г. Вейль. В «Кратком Оксфордском словаре» симметрия определяется как «…красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью».
Рисунок 5 – Примеры симметрии в природе |
Симметрия занимает важное место в естественных науках, приводя к многочисленным упрощениям картины мира и установлению сходства между различными ее областями.
Симметрия (в физике) – свойство физических величин оставаться неизменными (инвариантными) при определенных преобразованиях. Эти преобразования называются операциями симметрии .
К операциям симметрии относятся, например, операция отражения в зеркале, сдвиг, поворот. Сдвиговой симметрией обладают кристаллы, для которых характерно регулярное расположение частиц с периодической повторяемостью в трех измерениях. Осевой симметрией обладают правильные геометрические фигуры. Так, поворот квадрата на 90° относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, совмещает квадрат с самим собой.
Симметрии делятся на пространственно-временные (внешние) и внутренние, описывающие свойства элементарных частиц.
Пространство и время однородны, т.е. обладают сдвиговой симметрией: параллельный перенос системы координат и сдвиг начала отсчета времени не изменяют законов природы. Изотропность пространства означает, что оно обладает осевой симметрией: поворот осей координат на произвольный угол не изменяет законов природы.
В современной физике обнаруживается определенная иерархия симметрий. Приведенные выше симметрии имеют место при любых взаимодействиях. Существуют симметрии, выполняющиеся только при сильных и электромагнитных взаимодействиях, при слабых взаимодействиях эти симметрии нарушаются. К таким симметриям относятся, например, зеркальная симметрия, операция зарядового сопряжения, изотопическая инвариантность и т.д., эти симметрии называются внутренними. Зеркальная симметрия (инверсия пространства, заключающаяся в замене координат x,y,z на -x,-y,-z ) означает, что отражение в зеркале не меняет физических законов. Замена всех частиц на античастицы называется операцией зарядового сопряжения, такая операция симметрии также не изменяет протекающих в природе процессов сильного и электромагнитного взаимодействий. Изотопическая инвариантность связана со сходством протона и нейтрона (они отличаются только наличием у протона электрического заряда, что не сказывается на ядерных процессах).
В 1918 г. Амали Эмми Нетер доказала фундаментальную теорему, согласно которой существование любой конкретной симметрии – в пространстве-времени, степенях свободы элементарных частиц и физических полей – приводит к соответствующему закону сохранения, причем из этой теоремы следует и конкретная структура сохраняющейся величины. Из инвариантности относительно сдвига во времени следует закон сохранения энергии; из симметрии относительно пространственных сдвигов следует закон сохранения импульса; из инвариантности относительно пространственного вращения следует закон сохранения момента импульса. Физические законы не изменяются при преобразованиях Лоренца, связывающих значения координат и времени в различных инерциальных системах отсчета (принцип относительности). Из принципа относительности следует закон сохранения скорости движения центра масс изолированной системы.
Существование внутренних симметрий также связано с определенными законами сохранения. Зеркальная симметрия приводит к сохранению особого квантового числа – четности, которое следует приписать каждой частице. Сохранение четности означает инвариантность природы по отношению к замене правого левым и наоборот; как уже отмечалось, пространственная четность в слабых взаимодействиях не сохраняется. Сложное преобразование, заключающееся в одновременной инверсии пространства и замене частиц на античастицы называется комбинированной инверсией. Закон сохранения комбинированной четности выполняется при любых взаимодействиях. Изотопическая инвариантность приводит к сохранению изотопического спина при сильных взаимодействиях (слабые взаимодействия протекают, как правило, с изменением изотопического спина). Существуют законы сохранения электрического, барионного и лептонного зарядов, выражающие особую симметрию волновой функции, и т.д. Согласно современным представлениям, электрический заряд при всех превращениях элементарных частиц должен сохраняться всегда. Барионный и лептонный заряды, возможно, не сохраняются строго, хотя экспериментальные нарушения закона сохранения этих зарядов пока не обнаружены. Несоблюдение одного из законов сохранения означает нарушение в данном взаимодействии соответствующего вида симметрии.
Законы сохранения представляют собой мощное орудие исследования. Часто бывает, что точное решение уравнений движения оказывается очень сложным или действующие силы неизвестными. Поскольку законы сохранения не зависят от характера действующих сил, то с их помощью можно получить ряд важных сведений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы оказываются неизвестными. С помощью законов сохранения были открыты ряд элементарных частиц. Так, для того, чтобы в процессе β-распада выполнялись законы сохранения энергии и момента импульса, В. Паули предположил (1932) существование неизвестной к тому времени частицы
Введение
Всякое равенство вида
называется интегралом движения. Для замкнутой системы с n степенями свободы всего существует независимых интегралов движения. Если считать в уравнениях движения новыми переменными, не зависящими от , то полный набор уравнений движения запишется в виде , (1)причем для замкнутой системы время здесь войдет только в виде явно выписанных дифференциалов. Поэтому исключая из этих уравнений dt , мы получим
уравнений, не содержащих времени. Их интегрирование приведет к интегралам движения.1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы Нётер.
Среди всех интегралов движения особое значение имеют аддитивные или асимптотически аддитивные интегралы движения, для которых существует специальное название – законы сохранения. Если рассмотреть две системы, находящиеся очень далеко друг от друга, то физически очевидно, что процессы в одной системе совсем никак не должны влиять на движение другой. Поскольку, с другой стороны ничто не мешает нам рассматривать две такие системы как две части, I и II , единой общей системы, то мы приходим к условию асимптотической аддитивности, который заключается в следующем: если некоторая система ( I + II) разделяется на две подсистемы таким образом, что минимум расстояния между материальными точками разных подсистем
, то ее функция Лагранжа распадается на сумму функций Лагранжа обеих подсистем: . (2)Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное с инвариантностью описания механической системы относительно некоторой группы преобразований времени и координат. Существует теорема Нётер, утверждающая, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит l параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование l законов сохранения.
Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметров вращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.
2. Доказательство теоремы Нётер
Точно сформулируем и докажем теорему Нётер.
Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа
. (3)Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида
, а также и относительно более общих преобразований (4)включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при таком изменении любые изменения.
Теорема Нётер интересуется только тем случаем, когда таких изменений не происходит.
обобщенных координат и времени.Используя (4), получим:
(5)Пусть преобразования
такие, что (6)т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру
. (7)Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, – это разность значений
новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат в соответствующий момент старого времени, т.е. . (8)Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы
(9)зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты.
Для любой функции справедливо соотношение:
.Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, которое можно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим:
,примем во внимание, что
,тогда имеем:
(10)Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени
,в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно.
Общие свойства пространства и времени:
1. Пространство и время объективны и реальны, т.е. не зависят от сознания и воли людей.
2. Пространство и время являются универсальными, всеобщими формами бытия материи. Нет явлений, событий предметов, которые бы существовали вне пространства или вне времени.
Основные свойства пространства :
1. Однородность – все точки пространства обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных точек пространства, параллельный перенос не изменяет вид законов природы.
2. Изотропность – все направления в пространстве обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных направлений, и поворот на любой угол сохраняет неизменными законы природы.
3. Непрерывность – между двумя различными точками в пространстве, как близко бы они не находились, всегда есть третья.
4. Евклидовость описывается геометрией Евклида. Признаком евклидовости пространства является возможность построения в нём Декартовых прямоугольных координат. Но согласно ОТО Эйнштейна, при наличии в пространстве тяготеющих масс пространство искривляется, становится неевклидовым.
5. Трехмерность – каждая точка пространства однозначно определяется набором трёх действительных чисел координат. Это положение вытекает из связи структуры пространства с законом тяготения. (П. Эренфест в 1917 г. исследовал вопрос, почему мы способны воспринять только пространство трёх измерений. Он доказал, что «закон обратных квадратов», по которому действуют друг на друга точечные гравитационные массы или электрические заряды, обусловлен трёхмерностью пространства. В пространстве n измерений точечные частицы взаимодействовали бы по закону обратной степени (n–1). Поэтому для n=3 справедлив закон обратных квадратов, т.к. 3–1=2. Он показал, что соответствуя закону обратных кубов, планеты двигались бы по спиралям и быстро упали бы на Солнце. В атомах при числе измерений, большем трёх, также не существовало бы устойчивых орбит, т.е. не было бы химических процессов в жизни.
Основные свойства времени :
1. Однородность - любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково, по одним и тем же законам.
2. Непрерывность – это когда между двумя моментами времени, как бы близко они ни располагались, всегда можно выделить третий.
3. Однонаправленность или необратимость – это свойство времени, которое можно рассматривать как следствие второго начала термодинамики или закона возрастания энтропии. Все изменения в мире происходят от прошлого к будущему.
Указанные свойства пространства и времени связаны с главными законами физики – законами сохранения. Если свойства системы не меняются от преобразования переменных, то ей соответствует определённый закон сохранения. Это одно из существенных выражений симметрии в мире. Согласно Э. Нётер теореме, каждому преобразованию симметрии, характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется для системы, обладающей этой симметрией.
Из симметрии физических законов относительно:
1) сдвига замкнутой системы в пространстве (однородность пространства) следует закон сохранения импульса;
2) поворота замкнутой системы в пространстве (изотропность пространства) следует закон сохранения момента импульса;
3) изменения начала отсчёта времени (однородность времени) следует закон сохранения энергии.
Вопросы для повторения и самоконтроля
1. Каковы были представления о пространстве и времени в доньютоновский период?
2. Как трактовал И. Ньютон пространство и время?
3. Какие представления о пространстве и времени стали определяющими в теории относительности А. Эйнштейна?
4. Какие основные свойства пространства вам известны?
5. Какие основные свойства времени вам известны?
6. Сформулируйте теорему Э. Нетер?
Алексей Левин Термин «теорема» пришел в науку из геометрии эпохи эллинизма. В математике он в основном и пребывает. Однако теоремы есть и в других науках, в частности в физике. Так, в XIX веке в классической статистической механике была сформулирована теорема о равнораспределении кинетической энергии частиц по степеням свободы, а затем Н -теорема Больцмана, согласно которой энтропия неравновесной системы всегда возрастает со временем. В XX веке число физических теорем значительно увеличилось. В качестве примеров можно назвать теорему Фарри, которая утверждает, что в электромагнитных процессах сохраняется четность количества фотонов; теорему Паули о связи спина со статистикой; теорему Вика, исполняющую ключевую роль в квантовой теории поля.
В этом славном ряду совершенно особое место занимает теорема, доказанная внештатной сотрудницей Гёттингенского университета Эмми Нётер в разгар Великой войны — где-то на рубеже 1915−1916 годов. Впервые автор сделала о ней доклад на семинаре Гёттингенского математического общества 23 июля 1918 года, так что столетний юбилей уже не за горами.
33-летняя Эмми Нётер приехала в Гёттинген весной 1915 года по приглашению великих математиков Феликса Клейна и Давида Гильберта. Через несколько месяцев там произошли события, ставшие прелюдией к ее первой великой работе. Летом Альберт Эйнштейн ознакомил гёттингенских коллег с основными идеями своей уже близкой к завершению теории гравитации, более известной как общая теория относительности. Среди слушателей был и Гильберт, который заинтересовался эйнштейновскими идеями. В ноябре Эйнштейн написал окончательную версию уравнений ОТО, которую немедля представил Прусской академии наук. Чуть позже Гильберт по-новому вывел эти же уравнения, о чем и сообщил в статье, опубликованной в конце марта 1916 года.
В ходе этой работы Гильберт понял, что новая теория гравитации ставит под сомнение закон сохранения энергии. Уравнения ОТО могут быть записаны в произвольных системах пространственно-временных координат, между которыми возможны гладкие преобразования. С их помощью можно занулить величину поля тяготения в любой произвольно выбранной точке и ее бесконечно малой окрестности. Физически это означает, что воображаемый наблюдатель не сможет зарегистрировать в этой точке силу тяготения (в этом и состоит эйнштейновский принцип эквивалентности). Отсюда следует, что в ОТО однозначная локализация энергии в принципе невозможна. Вопрос, как быть с ее сохранением, сильно обеспокоил Гильберта, и он попросил Эмми Нётер с этим разобраться. Эмми Нётер в 1910 году («Википедия») Эта просьба была исполнена с лихвой. Нётер получила исключительно сильные результаты, область применения которых оказалась много шире рамок задачи, изначально поставленной Гильбертом. Сегодня мы знаем, что она охватывает не только ОТО и другие полевые теории классической физики, но и теории квантованных полей, развитые во второй половине двадцатого века.
В самой общей форме суть теоремы Нётер можно изложить буквально в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые ищут такие характеристики физических систем, которые остаются неизменными в ходе любых превращений. Из теоремы Нётер следует, что существование подобных сохраняющихся свойств непосредственно связано с симметриями так называемого действия, фундаментальной физической величины, которая определяет динамику системы. Иными словами, законы сохранения есть прямое следствие наличия тех или иных симметрий действия. Этот вывод стал универсальным инструментом выявления таких законов в различных областях физики — от ньютоновской механики до Стандартной модели элементарных частиц. Помимо этого его можно считать одним из наиболее красивых теоретических прозрений во всей истории науки.
Гильберт вывел уравнения ОТО на основе принципа, согласно которому в реальных физических процессах действие принимает экстремальное значение — как правило, достигает минимума. В те времена уже знали, что этот принцип позволяет получить уравнения и классической механики, и максвелловской электродинамики — да и многое другое. Поэтому его рассматривали как мощнейший инструмент конструирования уравнений, определяющих динамику различных физических систем. С ним работала и Эмми Нётер. Ее интересовали операции, которые преобразуют математические объекты, участвующие в вычислении действия, однако оставляют неизменной его численное значение — или, в более общем случае, изменяют это значение не слишком сильно (естественно, для этого «не слишком» имеется точное математическое определение). Это означает, что подобные операции оставляют действие инвариантным.
Инвариантность по отношению к определенному преобразованию или к целому классу преобразований называется симметрией. Эмми Нётер в своей работе задалась вопросом, к каким последствиям приводит наличие у действия тех или иных симметрий.
Эту задачу она решила в очень общей форме, но только для непрерывных симметрий: дискретные она не рассматривала. Математика уже располагала эффективным инструментом исследования таких симметрий в лице групп Ли. Их теория была хорошо разработана, и Нётер в ней отлично разбиралась.
Эмми Нётер исследовала преобразования симметрии, в которых работают группы Ли двух типов. В одном случае каждое преобразование (то есть каждый элемент группы Ли) определяется конечным набором численных параметров. Элементы групп Ли второго типа, напротив, зависят от того или иного числа произвольных функций. Например, плоские вращения задаются одним параметром (углом поворота), а вращения в трехмерном пространстве — тремя (каждое из них можно представить как последовательность вращений вокруг трех координатных осей). Эйнштейновская же ОТО основана на возможности произвольно выбирать локальную систему отсчета в любой точке пространства-времени. Это тоже разновидность симметрии, причем именно той, которую Эмми Нётер отнесла ко второму типу.
Теорема Нётер состоит из двух частей. Сначала она рассматривала следствия инвариантности действия относительно симметрий, которым отвечают групповые преобразования первого типа. Оказалось, что подобная инвариантность позволяет записать математические соотношения, которые можно интерпретировать как законы сохранения физических величин, удовлетворяющих этим симметриям. А если проще, то эти законы есть прямые следствия тех или иных симметрий.
Вот несколько примеров. В изолированной системе частиц, которые подчиняются ньютоновской механике и ньютоновской теории тяготения, действие инвариантно относительно сдвигов времени. Из теоремы Нётер следует, что полная энергия частиц не зависит от времени, то есть сохраняется. Точно так же инвариантность относительно произвольных сдвигов в пространстве означает сохранение полного импульса, а инвариантность относительно вращений — сохранение момента количества движения.
Конечно, эти законы были известны и раньше, но природа их оставалась загадочной; если угодно, таинственной. Теорема Нётер раз и навсегда сняла покров с этой тайны, связав законы сохранения с симметриями пространства и времени.
Вот еще один пример, который был осознан уже после появления квантовой электродинамики. До сих пор речь шла о внешних симметриях, связанных не непосредственно с физической системой, а с ее отношениями с временем и пространством. Однако теорема Нётер позволяет учесть и внутренние симметрии, иначе говоря, симметрии физических полей, чью динамику определяет то или иное действие (формально это симметрии математических конструкций, представляющих данные поля). Это тоже ведет к открытию различных законов сохранения.
Ограничусь одним примером. Действие для свободного релятивистского электрона, на основе которого можно вывести уравнение Дирака, не изменяется при преобразовании волновой функции, которое сводится к ее умножению на комплексное число с единичным модулем. Физически это означает изменение фазы волновой функции на постоянную величину, не зависящую от пространственно-временных координат (такая симметрия называется глобальной). Геометрически это преобразование эквивалентно плоскому повороту на произвольный, но фиксированный угол и потому описывается весьма простой однопараметрической группой Ли. Из теоремы Нётер вытекает, что вследствие такой симметрии сохраняется электрический заряд. Не слабый результат и уж отнюдь не тривиальный!
Вторая теорема Нётер описывает ситуации, когда преобразования симметрии, оставляющие действие инвариантным, зависят не от численных параметров, а от каких-то произвольных функций. В общем случае такая инвариантность не дает возможности формулировать законы сохранения физически измеримых величин. В частности, из второй теоремы Нётер следует, что в ОТО не существует универсальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые имели бы однозначный смысл в физически реальных (то есть не бесконечно малых) областях пространства-времени. Правда, есть частные случаи, когда в рамках ОТО можно корректно поставить вопрос о сохранении энергии. Однако в целом решение этой задачи зависит от того, что именно считать энергией поля тяготения и в каком смысле говорить о ее сохранении. Более того, не сохраняется и полная энергия частиц, которые движутся в пространстве с динамическим полем тяготения (другими словами, в пространстве с изменяющейся метрикой). Так, в нашей расширяющейся Вселенной фотоны реликтового излучения постоянно теряют энергию — это всем известный феномен космологического красного смещения.
Симметрии второй теоремы Нётер постоянно применяются в фундаментальной физике. Они позволяют устанавливать соответствия между свойствами частиц и полей, с которыми эти частицы могут взаимодействовать. Опять-таки — куда как не слабо! Не случайно известный американский физик-теоретик профессор Калифорнийского университета Энтони Зи в вышедшей в 2016 году монографии «Group Theory in a Nutshell for Physicists» назвал Эмми Нётер arguably the deepest woman physicist who ever lived. Столь высокая оценка — и всего лишь из-за единственной статьи!
Эмми Нётер заслуженно считается великим математиком — и не только из-за своей теоремы. С 1920 года она занялась абстрактной алгеброй и алгебраической геометрией, где получила множество основополагающих результатов. В 1933 году ее как еврейку изгнали из Гёттингена, и она перебралась в США, где получила должность в женском колледже Брин-Мар в штате Пенсильвания. Но жить ей оставалось недолго. 14 апреля 1935 года Эмми Нётер скончалась из-за осложнений после хирургической операции — скорее всего, от тяжелой инфекции.
С биографией Эмми Нётер легко ознакомиться, и не стоит ее пересказывать. Но есть интересная деталь, которая мало кому известна. В Брин-Мар Нётер пригласила декан математического факультета Анна Пелл Уилер. Ее наставником в науке и первым мужем был профессор математики университета Южной Дакоты Александр Пелл, к тому времени уже покойный. Однако Пелл не всегда был Пеллом. Он родился в 1857 году в Москве, и звали его тогда Сергеем Петровичем Дегаевым. Он вошел в историю русского революционного подполья как величайший предатель и провокатор, сдавший охранке Веру Фигнер и других членов «Народной воли». Позднее, чтобы избежать смерти от рук бывших товарищей, он помог им в убийстве своего куратора — жандармского подполковника Георгия Порфирьевича Судейкина (эта история подробно описана в романе Юрия Давыдова «Глухая пора листопада»). Оставшиеся на свободе народовольцы позволили Дегаеву уехать в Америку, где он изменил имя и превратился в Пелла. В Штатах он получил математическое образование, потом окончил аспирантуру в балтиморском Университете имени Джонса Хопкинса и в конце концов стал весьма почтенным консервативным джентльменом и отличным преподавателем. Выходит, что для устройства Эмми Нётер в США было нужно, чтобы злой гений «Народной воли» превратился в уважаемого американского профессора, который заметил и продвинул одаренную студентку из глубокой провинции. Прекрасный пример того, что называют иронией истории.